Metode Logika dan Aljabar boolean 3

 Metode K-Maps

 Karnaugh Map atau K-Map adalah suatu teknik penyederhanaan fungsi logika dengan cara pemetaan. K-Map terdiri dari kotak-kotak yang jumlahnya terdiri dari jumlah variable dan fungsi logika atau jumlah inputan dari rangkaian logika yang sedang kita hitung.

Langkah – langkah pemetaan K-Map secara umum :

Menyusun aljabar Boolean terlebih dahulu

Menggambar rangkaian digital

Membuat Table Kebenarannya

Merumuskan Tabel Kebenarannya

Lalu memasukkan rumus Tabel Kebenaran ke K-Map (Kotak-kotak)

Gambar 1. Penyederhanaan menggunakan K-Maps

Jenis-Jenis K-Map

• K-Map 2 variabel
• K-Map 3 variabel
• K-Map 4 variabel
• K-Map 5 variabel
• K-Map 6 variabel

Salah satu contoh penerapan dari K-Maps dalam dunia aljabar Boolean adalah:

Menyatakan fungsi Boolean dalam bentuk Sum of Product (SOP)

Untuk mempermudah pemahaman, berikut saya jelaskan langkah-langkah membuat Fungsi Boolean dalam bentuk SOP:

(1) Perhatikan dan tandai keluaran pada tabel kebenaran yang bernilai logika 1 (satu)

(2) Perhatikan dan tandai kombinasi masukan yang menghasilkan keluaran 1 (satu)

(3) Tulis fungsi Boolean dengan aturan sebagai berikut:

• Fungsi dibuat dengan format ‘penjumlahan dari perkalian’. Perkalian dilakukan pada variabel masukan dalam satu kombinasi. Semua kombinasi dibuat perkaliannya, lalu dijumlahkan.
• Variabel masukan bernilai 1 (satu) dinyatakan dalam bentuk tanpa komplemen.
• Variabel masukan bernilai 0 (nol) dinyatakan dalam bentuk komplemen.

(4) Sebagai opsional saja, tuliskan masing-masing kombinasi masukan sebagai minterm.

Dapat gambarannya? Saya berikan satu contoh. Coba lihat gambar di bawah ini:

Contoh membuat fungsi boolean dalam bentuk SOP

Pada tabel kebenaran di atas, langkah 1, saya menandai keluaran yang bernilai logika 1 (satu) dengan warna oranye. Kemudian langkah 2, masing-masing kombinasi masukannya saya tandai dengan warna biru. Langkah 3, saya menulis bentuk perkalian variabel masukan pada masing – masing kombinasi masukan yang sudah ditandai, yaitu:

A¯.B¯.C

$$\begin{align*} \bar{A}.\bar{B}.C \end{align*}$$

A.B¯.C¯

$$\begin{align*} A.\bar{B}.\bar{C} \end{align*}$$

A.B.C

$$\begin{align*} A.B.C \end{align*}$$

Selanjutnya, saya jumlahkan persamaan di atas sehingga diperoleh bentuk SOP berikut:

Y=A¯.B¯.C+A.B¯.C¯+A.B.C

$$\begin{align*} Y=\bar{A}.\bar{B}.C + A.\bar{B}.\bar{C} +A.B.C \end{align*}$$

Atau dalam bentuk lain:

Y=m1+m4+m7

$$\begin{align*} Y=m_{1}+m_{4}+m_{7} \end{align*}$$

Mudah ‘kan? Supaya lebih paham, silakan dicoba membuat bentuk SOP dengan mengubah nilai keluaran pada tabel kebenaran yang saya contohkan di atas.

Menyatakan fungsi Boolean dalam bentuk Product of Sum (POS)

Langsung saja, berikut ini langkah-langkah untuk membuat fungsi Boolean bentuk POS:

(1) Perhatikan dan tandai keluaran pada tabel kebenaran yang bernilai logika 0 (nol)

(2) Perhatikan dan tandai kombinasi masukan yang menghasilkan keluaran 0 (nol)

(3) Tulis fungsi Boolean dengan aturan sebagai berikut:

• Fungsi dibuat dengan format ‘perkalian dari penjumlahan’. Penjumlahan dilakukan pada variabel masukan dalam satu kombinasi. Semua kombinasi dibuat penjumlahannya, lalu dikalikan.
• Variabel masukan bernilai 1 (satu) dinyatakan dalam bentuk komplemen.
• Variabel masukan bernilai 0 (nol) dinyatakan dalam bentuk tanpa komplemen.

(4) Sebagai opsional saja, tuliskan masing-masing kombinasi masukan sebagai Maxterm (M).

Untuk memperjelas, lihat contoh di bawah ini:

Contoh membuat fungsi boolean bentuk POS

Pada tabel kebenaran di atas, langkah 1 saya menandai keluaran yang bernilai 0 (nol). Kemudian langkah 2 saya menandai kombinasi masukannya dengan warna hijau. Langkah 3 saya menuliskan penjumlahan variabel masukan pada masing-masing kombinasi yang sudah ditandai, yaitu:

A+B+C

$$\begin{align*} A+B+C \end{align*}$$

A+B¯+C

$$\begin{align*} A+\bar{B}+C \end{align*}$$

A+B¯+C¯

$$\begin{align*} A+\bar{B}+\bar{C} \end{align*}$$

A¯+B+C¯

$$\begin{align*} \bar{A}+B+\bar{C} \end{align*}$$

A¯+B¯+C

$$\begin{align*} \bar{A}+\bar{B}+C \end{align*}$$

Selanjutnya, saya kalikan semua persamaan di atas sehingga diperoleh fungsi Boolean bentuk POS sebagai berikut:

Y=(A+B+C)(A+B¯+C)(A+B¯+C¯)(A¯+B+C¯)(A¯+B¯+C)

$$\begin{align*} Y=(A+B+C)(A+\bar{B}+C)(A+\bar{B}+\bar{C})(\bar{A}+B+\bar{C})(\bar{A}+\bar{B}+C) \end{align*}$$

atau bisa juga dinyatakan dalam bentuk:

Y=M0.M2.M3.M5.M6

$$\begin{align*} Y=M_{0}.M_{2}.M_{3}.M_{5}.M_{6} \end{align*}$$

Sebenarnya langkah-langkah yang saya jelaskan di atas tidaklah sulit. Jika sudah paham prinsipnya dan terlatih, membuat fungsi Boolean bentuk SOP dan POS sangatlah mudah.

Nah, sekarang kita evaluasi hasilnya. Jika kita cermati, kedua fungsi tersebut masih bisa disederhanakan dengan menggunakan hukum aljabar Boolean.

Penjelasan tentang hukum aljabar Boolean dapat dibaca di sini: Pengertian dan hukum Aljabar Boolean

Namun, penggunaan hukum aljabar Boolean dirasa sulit dan membutuhkan banyak latihan. Solusi alternatifnya adalah menggunakan Karnough map atau K-map.

Bentuk Kmap

K-map merupakan sebuah metode untuk menyederhanakan fungsi Boolean atau untuk mendapatkan fungsi Boolean yang paling sederhana dari sebuah tabel kebenaran. Seperti apa bentuknya? Lihat gambar di bawah ini:

Bentuk kmap 2 variabel

Bentuk kmap 3 variabel

Bentuk kmap 4 variabel

Pada kmap di atas, bagian berwarna abu-abu pada kolom dan baris menunjukkan wilayah. Sedangkan bagian berwarna putih adalah tempat memasukkan nilai keluaran berdasarkan nomor urutnya. Ingat ya, harus sesuai urutan. Makanya, dalam membuat tabel kebenaran juga harus sesuai urutan.

Urutan kombinasi masukan yang benar pada tabel kebenaran dapat dibaca di sini: Pengertian dan hukum aljabar Boolean

Pembagian wilayah pada Kmap

Pembagian wilayah Kmap bergantung pada bentuk baku yang digunakan. Berikut saya jelaskan pembagian wilayah Kmap jika menggunakan bentuk baku SOP. Ingat ya, ini untuk bentuk baku SOP.

Pembagian wilayah kmap 2 variabel

Pembagian wilayah kmap 3 variabel

Pembagian wilayah kmap 4 variabel

Begini penjelasan untuk gambar di atas.

Kolom 1 merupakan wilayah dari $\bar{A}$ dan $\bar{B}$ sehingga kolom 1 diberi judul 00. Ingat, pada metode SOP, variabel dengan komplemen untuk nilai logika (0) dan variabel tanpa komplemen untuk nilai logika 1 (satu).

Begitu juga pada kolom 2 yang merupakan wilayah dari $\bar{A}$ dan $B$ diberi judul 01. Kolom 3 yang merupakan wilayah $A$ dan $B$ diberi judul 11 dan kolom 4 yang merupakan wilayah$A$ dan $\bar{B}$ diberi judul 10.  Pemberian judul pada masing-masing kolom dilakukan untuk memudahkan penentuan wilayah kolom.

Fungsi Boolean yang paling sederhana dapat diperoleh dari kmap dengan cara melakukan pengelompokan nilai logika. Untuk fungsi Boolean bentuk SOP, pengelompokan dilakukan pada nilai logika 1 (satu). Aturan pengelompokan dalam Kmap:

Pengelompokan nilai logika diprioritaskan pada jumlah kelompok yang lebih besar. Artinya, jika bisa dikelompokkan dalam kelompok yang lebih besar, jangan dikelompokkan dalam kelompok kecil.

Jumlah kelompok nilai logika yang diperbolehkan adalah 2, 4, 8 dan 16 (Untuk kmap dengan 2 s.d 4 variabel).

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.

Diketahui tabel kebenaran sebagai berikut:

Contoh tabel kebenaran 3 variabel

Langkah – langkah:

• Perhatikan nilai logika keluaran dan urutannya pada tabel kebenaran di atas.
• Masukkan nilai logika keluaran ke dalam kmap sesuai urutannya, sehingga diperoleh kmap sebagai berikut:

Contoh kmap 3 variabel

• Lakukan pengelompokan pada nilai logika 1 (satu):

Contoh pengelompokan nilai pada kmap 3 variabel

• Dengan menentukan irisan wilayah dari pengelompokan nilai, maka diperoleh:

Pengelompokan 1: $A.B$

Pengelompokan 2: $\bar{A}.\bar{B}.C$

Fungsi Boolean bentuk SOP : $Y = A.B + \bar{A}.\bar{B}.C$

Bagaimana jika ada 4 variabel? Berikut contohnya:

Contoh tabel kebenaran 4 variabel

Memasukkan nilai logika keluaran sesuai urutannya:

Contoh kmap 4 variabel

Mengelompokkan nilai logika 1 (satu):

Contoh pengelompokan nilai logika pada kmap 4 variabel

Diperoleh:

Pengelompokan 1: $\bar{A}.C$

Pengelompokan 2: $C.\bar{D}$

Pengelompokan 3: $A.\bar{C}.\bar{D}$

Pengelompokan 4: $\bar{B}.\bar{C}.\bar{D}$

Fungsi Boolean bentuk SOP: $Y = \bar{A}.C + C.\bar{D} + A.\bar{C}.\bar{D} + \bar{B}.\bar{C}.\bar{D}$

Nah, sekarang bagaimana menggunakan kmap untuk bentuk POS?

Caranya sama, hanya dibalik saja.

Pembagian wilayah kmap dan pengelompokan nilainya berkebalikan.

Kolom 1 merupakan wilayah dari $A$ dan $B$ sehingga kolom 1 diberi judul 00. Ingat, pada metode POS, variabel tanpa komplemen untuk nilai logika (0) dan variabel dengan komplemen untuk nilai logika 1 (satu).

Kolom 2 yang merupakan wilayah dari $A$ dan $\bar{B}$ diberi judul 01. Kolom 3 yang merupakan wilayah $\bar{A}$ dan $\bar{B}$ diberi judul 11 dan kolom 4 yang merupakan wilayah$\bar{A}$ dan $B$ diberi judul 10.  Pemberian judul pada masing-masing kolom dilakukan untuk memudahkan penentuan wilayah kolom.

Pada metode POS pengelompokan dilakukan pada nilai logika 0 (nol).

Demikian penjelasan tentang cara menyederhanakan fungsi Boolean dengan kmap. Semoga bermanfaat.

1. K-Map 2 Variabel

(Gambar 3.1.1)

Pada K-Map 2 variabel, variabel yang digunakan yaitu 2. Misalnya variabel A & B.

Catatan :

   - Untuk setiap variabel yang memiliki aksen, maka di dalam tabel ditulis 0.

   - Untuk setiap variabel yang tidak memiliki aksen, maka di dalam tabel ditulis 1.

Contoh : A' (ditulis 0), B (ditulis 1)

Desain/model pemetaan K-Map 2 variabel dapat dibentuk dengan 2 cara seperti pada (Gambar 3.1.1). Pada pembahasan ini, penulis menggunakan desain pemetaan Model 2 seperti berikut : 

(Gambar 3.1.2)

Dalam menentukan hasil pemetaan, ambil daerah yang berbentuk seperti berikut :

(Gambar 3.1.3)

Contoh soal :

Sederhanakan persamaan logika berikut dengan K-Map : y = A'B' + AB'

(Gambar 3.1.4)

2. K-Map 3 Variabel

(Gambar 3.2.1)

Pada K-Map 3 variabel, variabel yang digunakan yaitu 3. Misalnya variabel A, B & C.

Desain pemetaan K-Map 3 variabel dapat dibentuk dengan 4 cara seperti pada (Gambar 3.2.1). Pada pembahasan ini, penulis hanya menggunakan desain pemetaan Model 2 seperti berikut : 

(Gambar 3.2.2)

Contoh soal :

Sederhanakan persamaan logika berikut dengan K-Map : 

y = ABC' + ABC + AB'C + AB'C'

(Gambar 3.2.3)

3. K-Map 4 Variabel

(Gambar 3.3.1)

Pada K-Map 4 variabel, variabel yang digunakan yaitu 4. Misalnya variabel A, B, C & D.

Desain pemetaan K-Map 4 variabel dapat dibentuk dengan 2 cara seperti pada (Gambar 3.3.1). Pada pembahasan ini, penulis hanya menggunakan desain pemetaan Model 2 seperti berikut : 

(Gambar 3.3.2)

Contoh soal :

Sederhanakan persamaan logika berikut dengan K-Map : 

y = ABC'D' + ABC'D + ABCD + ABCD' + AB'CD + AB'CD'

(Gambar 3.3.3)